Голономічні обмеження та ступені свободи

Christian Schnorr 02/08/2017. 1 answers, 160 views
classical-mechanics lagrangian-formalism coordinate-systems constrained-dynamics degrees-of-freedom

Вікіпедія та інші джерела визначають гонологічні обмеження як функцію

$ $ f (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N, t) \ equiv 0, $$

і каже, що кількість ступенів свободи в системі зменшується за кількістю незалежних холономічних обмежень.

Я міг би взяти кілька таких обмежень $ f_1, \ ldots, f_m $ і сформулювати їх як єдине, що виконується тоді і тільки тоді, коли виконуються всі $ f_i $:

$$ f = \ sum_ (i = 1) ^ (m) (\ lvert f_i \ rvert). $ $

Це поєднання $ f $, очевидно, зменшить кількість ступенів свободи на $ m $ замість $ 1 $.

Альтернативно, щоб уникнути абсолютного значення, я міг би використовувати суму квадратів

$$ f = \ sum_ (i = 1) ^ (m) f_i ^ 2 $ $

замість цього. Де моя помилка в міркуваннях?

1 Answers


Qmechanic 04/13/2017.

Ну, у визначенні голономних обмежень $ f_1, \ ldots, f_m $ існують також дві технічні умови регулярності (які контрприклади OP не виконують):

  1. Функції $ f_1, \ ldots, f_m, $ повинні бути безперервно диференційовними з $ m \ leq 3N $.

  2. $ M \ times 3N $ прямокутна якобиевая матриця $ $ \ frac {\ partial (f_1, \ ldots, f_m)} {\ partial (\ vec {r} _1, \ ldots, \ vec {r} _N)} $$ повинен мати ранг $ m $.

Умови регулярності 1 і 2 накладаються для забезпечення місцевого існування узагальнених координат $ q_1, \ ldots, q_n $ в деякій відкритій сусідстві, де $ n: = 3N-m $, за допомогою теореми зворотної функції .

Див. Також це пов'язане повідомлення Phys.SE.

Список літератури:

  1. M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; Підсекція 1.1.2, с. 7

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags