Інтуїція на побудові ГНС і як вона відноситься до звичайної квантової механіки

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

Читаючи один документ, будівництво ГНС згадується наступним чином:

Важливо нагадати, що результат (теорема) за допомогою Гельфанда, Наймарка та Сігала (GNS) встановлює, що для будь-якого $ \ omega $ на $ \ mathcal (A) $ завжди існує представлення $ (f_ \ omega, \ mathfrak (h) _ \ omega) $ з $ \ mathcal (A) $ і $ \ Phi_ \ omega \ in \ mathfrak (h) _ \ omega $ (зазвичай називають cyclic vector ) такими, що $ f_ \ omega mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ щільно в $ \ mathfrak (h) _ \ omega $ і $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ \ omega | f _ (\ omega) (\ mathcal (A)) | \ Phi_ \ omega \ rangle $. Крім того, результат GNS гарантує, що до унітарної еквівалентності $ (f_ \ omega, \ mathfrak (h) _ \ omega) $ є унікальним циклічним поданням $ \ mathcal {A} $.

Тепер, розглядаючи математику, існує теорема та відповідне доказ. Моя точка тут - це не обговорювати їх. Тут моя точка - обговорити інтуїцію про цю конструкцію з точки зору фізики.

Отже, перше, що змушує мене плутати: в підході $ C ^ \ ast $ -алгебри я вважав, що кожен стан $ \ omega: \ mathcal (A) \ to \ mathbb (R) $ був еквівалентом ket $ | \ phi \ rangle $ в традиційному підході.

Проте в структурі ГНС ми бачимо, що кожен стан $ \ omega $ індукує одне представлення . Іншими словами, замість того, щоб мати кожен $ \ omega $ один ket, для кожного $ \ omega $ існує цілий гільбертовий простір.

Більше того, у нас є той циклічний векторний стан, який я фізично не розумію.

Отже, моє запитання: яка інтуїція на побудову ГНС з точки зору фізики? Як стани $ \ omega $ з алгебраїчного підходу відносяться до кетам $ | \ psi \ rangle $ (вектори стану) в традиційному підході? Що таке умова циклічного вектора з фізичної точки зору?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

Основна ідея побудови GNS полягає в тому, що ви використовуєте єдину стану (часто це буде вакуум, якщо ми працюємо на плоскій просторі), щоб відтворити весь гільбертовий простір. Це дійсно пов'язано з циклічністю: множина всіх векторів, породжених діями алгебри на вакуумі, щільна в отриманому гильбертовом просторі. Тому для генерування повного гильбертовом простору просто нанесіть кожному члену $ C ^ * $ -алгебри для створення щільної підмножини гільбертового простору, а потім виконайте завершення Коші тих, що генерують повний гильбертовий простір.

Простий спосіб повернути звичайне подання у вигляді гільбертового простору полягає в тому, щоб розглянути твір трьох членів алгебри, тоді їх представлення $ \ pi $ як операторів гільбертова космічного простору стає

$ $ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $ $

Тоді ви можете просто визначити стани $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ і $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $, твоя держава стає

$ $ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi \ rangle $ $

Це стає тоді звичайним переходом між двома станами.

Простим прикладом цього може стати, наприклад, розглянути створення та знищення операторів у вакуумі. Вони утворюють $ C ^ * $ -алгебру, і вони можуть діяти у вакуумному стані, щоб створити будь-яку кількість станів, які утворюють гильбертовий простір. З іншого боку, жодна кількість застосовуваних операторів створення в вакуумі не дасть вам статусу, визначеного штатом Фока

$ $ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $ $

Якщо б ми використовували цей стан як основний $ \ omega $, то ми мали б унітарно не еквівалентну теорію.


ACuriousMind 06/13/2017.

У зворотному порядку:

  1. Циклічність слід розглядати як певний стан незвідності. Зауважте, що кожен вектор неприводимого зображення є циклічним, і тому існування нециклічного вектора вказує на приріст. Тому циклічність не має великого значення за звичайною ідеєю вивчення всіх неприводимых уявлень, оскільки вони містять разом всю відповідну інформацію про алгебру. Одним з аспектів, який може бути варто відзначити, є те, що вимоглива циклічність робить GNS-побудову unique - може існувати багато просторів, в яких будь-яка задана абстрактна держава представляється вектором, але всі представлення, в яких вона циклічна, є унітарно ізоморфними.

  2. Зв'язок між станами і векторами полягає в наступному: в одному напрямку, від векторів до станів, для кожного подання $ \ rho: \ mathcal (A) \ to \ mathrm (B) (H) $ на гильбертовом просторі $ H $ з обмеженими операторами $ \ mathrm (B) (H) $ і кожним вектором $ v \ in H $, мапу $ \ mathcal {A} \ to \ mathbb (C), A \ mapsto \ langle v \ vert \ rho (A) \ vert v \ rangle $ - стан в абстрактному сенсі. І навпаки, саме в контексті побудови ГНС, що до будь-якого абстрактного стану можна знайти такий гільбертовий простір, що держава дає вектор на цьому просторі в цьому сенсі.

  3. Я не бачу нічого інтуїтивного щодо цього (і я трохи здивувався, яку інтуїцію ви очікуєте для абстрактних $ C ^ \ ast $ -алгебр), але фізично будівництво GNS запевняє нас, що абстрактний $ C ^ \ ast $ -алгебраїчний перспективи та традиційний підхід, який починається з алгебри спостережуваних в гильбертовом просторі, еквівалентні: пряма сума над усіма представленнями GNS, пов'язаними з (чистими) станами алгебри $ \ mathcal (A) $, вірна і є ізометрією, що is, абстрактна алгебра є ізометрично ізоморфною алгебри обмежених операторів на цьому гильбертовом просторі. Тому no difference in the outcomes не має значення ні "абстрактна", ні "конкретна" точка зору. Це зміст теореми Гельфанда-Наймарка .


user154997 06/13/2017.

Як фізик, я розумію, що GNS слідує.

Коротка версія

Враховуючи спостережувані значення, очікувані значення та симетрії, ми можемо реконструювати звичайне QM з його гільбертовим простором, визначення його очікуваних значень як "бутербродів" та його звичайне унітарне подання симетрії.

більш формальна версія

Ми даємо собі

  • алгебра $ \ mathcal {A} $ стабільна при $ A \ mapsto A ^ * $: ті, що ототожнюються з нашими операторами;
  • функція $ \ omega $, яка пов'язує комплексне число з кожним елементом цієї алгебри: вони будуть значеннями очікування операторів;
  • група симетрії $ G $, що діє на таку алгебру, що
    • будь-яка симетрія $ s $ задовольняє $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • і він залишає $ \ omega $ інваріантним: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

Потім GNS конструює:

  • Гільбертовий простір $ \ mathcal (H) $,
  • вакуумний вектор $ \ mid 0 \ rangle $,
  • представлення $ \ phi $ алгебри $ \ mathcal (A) $, тобто відображення $ \ mathcal (A) $ на $ \ mathcal {H} $ таке, що $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, що, крім того, має властивість, що очікування будь-якого елемента $ A \ in \ mathcal (A) $ - це квантове очікування $ \ phi (A) $: $ $ \ omega (A) = \ langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $ $
  • унітарне відтворення групи симетрії, що приносить симетрію в гильбертовом просторі, тобто до кожного $ s \ in G $ асоціюється унітарний оператор $ U_s $ в гильбертовом просторі, такий, що $ $ \ phi (s (A)) = U_s \ phi (A) U_s ^ * $$

циклічність вакууму

Коротка версія полягає в тому, що, застосувавши всі операторні уявлення до вакууму, ми отримуємо майже всі елементи $ \ mathcal (H) $. Сувора версія полягає в тому, що $ \ left \ (\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal (A) \ right \} $ щільно в $ \ mathcal (H) $.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags