Визначення кон'югованого імпульсу в QFT

Piotr 05/28/2017. 2 answers, 372 views
quantum-field-theory momentum definition

Мої лекційні записи визначають кон'югований імпульс скалярного поля за допомогою:

$ $ \ pi = \ dot (\ psi) $ $

Де

$$ \ psi = \ int \ frac (d ^ 3p) {(2 \ pi) ^ (3)) \ frac (1) (\ sqrt (2E_p)} \ left (a_p e ^ {i \ vec (p) \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $ $

і стверджують, що це дає

$$ \ pi = \ int \ frac (d ^ 3p) {(2 \ pi) ^ (3)) \ sqrt (\ frac (E_p) (2)) \ left (a_p e ^ {i \ vec p \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $ $

працюючи в картині Шодінгера. Але явно $ \ psi $ навіть не залежить від часу. Чи правильно я думаю, що те, що сказано в моїх лекційних замітках, є помилковим і визначенням

$ $ \ pi = \ dot (\ psi) $ $

діє лише в картині Гейзенберга? І для того, щоб одержати вищенаведені вирази, які знаходяться в картині Шредінгера, потрібно приймати гайзенберговські вирази зображень:

$$ \ psi = \ int \ frac (d ^ 3p) {(2 \ pi) ^ (3)) \ frac (1) (\ sqrt (2E_p)) \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ (ip \ cdot x) \ right) $ $

$$ \ pi = \ int \ frac (d ^ 3p) {(2 \ pi) ^ (3)) \ sqrt (\ frac (E_p) {2}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ (ip \ cdot x) \ right) $ $

(де я зараз використовував 4-векторні позначення), а потім перетворити їх у зображення Шредінгера?

2 Answers


user1620696 05/28/2017.

Спочатку забудьте QFT на деякий час і подумайте про класичну теорію поля. Розглянемо поле Клейна-Гордона точніше. Його лагранжиан є

$ \ mathcal {L} (\ phi, \ partial_ \ mu \ phi) = \ dfrac {1} (2) \ partial ^ \ mu \ partial_ \ mu \ phi \ dfrac {1} {2} m ^ 2 \ phi ^ 2 $$

У цьому лагранжиані variable $ \ phi $. Оскільки $ \ phi $ - це функція, задана на просторі-часу, $ \ phi $ залежить від часу зокрема і ви можете обчислити в довідковій системі $ \ dot (\ phi) = \ partial_0 \ phi $.

Потім один defines спонукальний імпульс, як і в класичній механіці

$ $ \ pi = \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} (\ partial (\ partial_0 \ phi)}. $$

Для цього поля, що ми отримуємо? Якщо ви працюєте з цим, ви знайдете $ \ pi = \ dot (\ phi) $.

Це все класично. Тоді з цим в руках можна квантувати.

Зрештою, квантовання поля означає, що ви хочете перетворити $ \ phi, \ pi $ на підпорядкованих операторів

$ $ [\ phi (x), \ phi (y)] = [\ pi (x), \ pi (y)] = 0 $$

$ $ [\ phi (x), \ pi (y)] = i \ delta (xy). $$

Таким чином, вам вже потрібно $ \ pi $, щоб говорити про квантування. Як і в квантової механіки, вам необхідна як позиція, так і імпульс для накладання канонічних комутаційних відносин.

До речі, є невелика деталь. Комутаційні зв'язки приймаються в однакові рази. У цьому випадку вони зберігають серед операторів зображень Шредінгера $ \ phi (\ mathbf (x)), \ pi (\ mathbf (y)) $, оскільки вони визначаються в один і той же початковий час.

Отже, якщо ви хочете обчислити $ \ pi $ з $ \ phi $, ви можете зробити це класичним, а потім нав'язати канонічні комутаційні відносини, або ви можете зробити це в картині Гейзенберга, і ви отримаєте ті ж результати.

Edit: розкладання режиму може бути досягнуто в класичній теорії поля, єдине, що коефіцієнти будуть числами. Рівняння руху є

$$ (\ Box + m ^ 2) \ phi = 0 $$

Візьміть перетворення Фур'є в просторову змінну, щоб позначити перетворення Фур'є на $ \ hat (\ phi) $ у вас

$ $ \ partial ^ 2_t \ hat (\ phi) + (| \ mathbf (p) | ^ 2 + m ^ 2) \ hat (\ phi) = 0 $$

визначити $ \ omega_ (p) ^ 2 = | \ mathbf (p) | ^ 2 + m ^ 2 $ і $ p = (\ omega_p, \ mathbf (p)) $. Рівняння параметризується $ \ mathbf (p) $ і може бути легко вирішено дати

$ $ \ hat (\ phi) (\ mathbf (p), t) = a_p e ^ {- i \ omega_p t} + b_p e ^ (i \ omega_p t) $$

Тепер застосуємо реальність стану перетворення Фур'є

$ $ \ hat (\ phi) (- \ mathbf (p), t) = \ hat (\ phi) (\ mathbf (p), t) ^ \ ast. $$

Ви прибуваєте на умовах

$$ a _ {- \ mathbf (p)} e ^ {- i \ omega_p t} + b_ (- \ mathbf (p)) e ^ {i \ omega_p t} = a_ (\ mathbf (p)} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} + b _ (\ mathbf (p)} ^ \ ast e ^ {- i \ omega_p t} $$

то лінійна незалежність експоненцій дає тоді $ a_ (- \ mathbf (p)) = b_ (\ mathbf (p)) ^ \ ast $ і $ b_ (- \ mathbf (p)) = a_ (\ mathbf (p) } ^ \ ast $. Тепер у вас є

$ $ \ hat (\ phi) (\ mathbf (p), t) = a_pe ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ (i \ omega_p t) $$

Тепер застосуйте інверсію Фур'є, щоб отримати

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ i \ omega_p t)) e ^ (i \ mathbf (p) \ cdot \ mathbf (x)) $ $

якщо ви зміните змінні на другому терміні, зробіть $ p \ to -p $, оскільки $ \ omega_ (- p) = \ omega_p $ ви отримуєте формулу

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ (- ipx) + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

Тоді $ \ sqrt (2 \ omega_p) $ включено для зручності, щоб отримати інваріантний результат Лоренца (це сума для перевизначення $ a_p $). Остаточна відповідь

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3) \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ omega_p}} (a_p e ^ {- ipx} a_p ^ \ ast e ^ (ipx)). $ $

Будь ласка, зрозумійте, що це не derive представлення простору Фока. Це лише класичний розрахунок, який у черзі motivates розпад режиму з точки зору операторів Фока простору сходів.

До речі, існує більш чистий та елегантний підхід з перетворенням Фур'є з просторово-часовим інтервалом, яке можна знайти в питанні А питання про використання розкладання Фур'є для вирішення рівняння Клейна Гордона .


Y2H 05/28/2017.

Я думаю, я знаю, що таке твоя проблема. Ви забуваєте, що часова залежність може бути неявною і не повинна бути лише явною. Наприклад, $ \ psi $ може залежати від часу, оскільки $ x $ та / або $ p $ залежать від часу. У цьому випадку похідна не буде рівною нулю.

Крім того, визначення має бути дійсним на обох картинках, так як одержання функції по відношенню до часу є таким самим і в матричному представленні, як і в отриманні оператора відносно часу.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags