Яке точне визначення "тиск на точку"?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Я читаю механіку рідини Ландау, а на першій сторінці визначається тиск у кожній точці і кожного разу: $ p = p (x, y, z, t) $. Тут кожна "точка" $ (x, y, z) $ дійсно є крихітним диференціальним об'ємом $ dV $, наприклад, невеликою прямокутною коробкою розмірів $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , що містить багато частинок.

Цей тиск $ p $, як функція, має властивість, що $ \ oint_S p \ dS $ - загальна зовнішня сила над будь-якою поверхнею $ S $, це говорить про те, що тиск визначається як загальна зовнішня сила над поверхнею a Крихітний об'єм діВ поділив значення його поверхні. Наприклад, якщо ми застосуємо сили до кожного обличчя коробки розмірів $ a, b, c $:

крихітна коробка і сили

Тоді тиск над цим полем: \ begin {equation} p = \ frac {F_ (x +) + F_ {x -} + F_ (y +) + F_ (y -) + F_ (z +) + F_ (z-) } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

Тепер, наприклад, якщо у мене є велика коробка розмірів $ L $, $ 2L $, $ 2L $, і над цією коробкою є зовнішні сили $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $, які намагаються стиснути це поле, і коробка не рухається, то загальна зовнішня сила, застосована до коробки, дорівнює $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Припустимо, що сили рівномірно розподілені по гранях.

введіть опис зображення тут

Тепер давайте розрахуємо інтеграл тиску над поверхнею цієї коробки (вона повинна бути $ 2 (F_x + F_y + F_z) $). Для цього ми можемо розділити коробку в маленьких кубах обсягу $ L ^ 3 / n ^ 3 $. Сила над кожним з двох облич, ортогональних до осі $ x $, становить $ F_x / 4n ^ 2 $, а сила поверх граней, ортогональних до осі $ y $, дорівнює $ F_y / 2n ^ 2 $, аналогічно сила над Обличчя, ортогональні до осі $ z $, - $ F_z / 2n ^ 2 $.

Тоді тиск над кожним крихітним кубом обсягу $ L ^ 3 / n ^ 3 $ буде: \ begin {equation} p_0 = \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac (F_z) (2n ^ 2) \ right)) {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {equation}

Ігноруючи краю та вершини, ми можемо оцінити інтеграл поверхні тиску, беручи загальну кількість маленьких кубів на поверхні, але краях, і помноживши його на $ p_0 $. На обидва обличчя з поверхнею $ 4L ^ 2 $ та $ (2n-2) (n-2) $ на кожному з чотирьох залишкових поверхонь поверхні $ 2L ^ є $ (2n-2) ^ 2 $ таких кубів. 2 $. Нехай $ S $ - поверхня великої коробки. Нехай $ \ Delta S $ - поверхня обличчя маленького куба ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

\ begin {equation} \ oint_S p \ dS \ approx \ left (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) p_0 \ Delta S = \ left (2 (n- 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} (2n ^ 2) + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac (L ^ 2) {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left (\ frac {F_x} {4} + \ frac (F_y) {2} + \ frac (F_z) {2} \ right) \ end {equation}

Приймаючи обмеження як $ n \ rightarrow \ infty $, і враховуючи, що поверхні незначні для поверхневої інтеграції:

\ begin {equation} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {equation}

Але це не може бути правильним, оскільки сила над поверхнею дорівнює $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Я насправді не розумію, що не так. Це визначення тиску? Чи це інтеграція?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

У книзі зазначено, що величина $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ - сумарна сила. Якщо ви помітили, що значення $ \ mathrm d \ mathbf f $ жирним шрифтом, ви можете побачити, що це вектор, і це, по суті, означає, що інтеграл виконується компонентом за компонентом, тому ваші розрахунки не застосовуються. Так, наприклад: $$ \ int p_ (x +) dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ (x +) \ int \ frac (dS) {bc} = F_ (x +) $ $ і аналогічно для інших компонентів. У цьому прикладі dS не вектор. Як ви бачите, ви завжди отримуєте вихідний компонент.

Що стосується точного визначення, це постійна пропорційності між векторами $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, нормальною компонентою $ \ mathrm d \ mathbf F $ на поверхні та $ \ mathrm d \ mathbf S $. Зауважте, що він визначається нескінченно, оскільки ці вектори зазвичай є функціями позиції.


Farcher 01/03/2017.

Ваші проблеми починаються, коли ви починаєте лікувати сили та області як скаляри.

Тоді тиск над цим ящиком:

\ begin {equation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ (x -) + F_ (y +) + F_ (y -) + F_ (z +) + F_ {z -}} (2ab + 2bc + 2ca) \ end (рівняння)

невірний

Вам потрібно використовувати векторну форму рівняння, яка дає вам силу на площі, як це описано в статті Вікіпедії про тиск .

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags