Тиск в тензорах напруги?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
fluid-dynamics pressure definition stress-energy-momentum-tensor stress-strain

Тензор напруги можна записати у вигляді: $ $ \ sigma_ (ij) = - p \ delta_ (ij) + \ sigma '_ (ij) \ label {1} ​​\ tag (1) $ $ де $ \ sigma_ {ij} '$ називається додатковим тензором напруги.

З того, що я розумію, тиск - тиск - сила на одиницю площі, так що сила, що діє на поверхні $ d \ vec A $, дається: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $ $ (Це означає, що сила на нескінченно тонкій поверхні за рахунок безперервного тиску дорівнює нулю). Проте $ \ sigma_ (ij) $ являє собою силу в напрямку $ i $ на поверхні з нормальним у напрямку $ \ hat e_j $. Таким чином, сила, яка діє на поверхні $ d \ vec A $, повинна бути такою: $ $ F_i = \ sigma_ (ij) dA_j \ label {3} \ tag (3) $$ Рівняння (2) та (3) (навіть якщо ми будемо виглядати так сильно в напрямку $ d \ vec A $, що вони не згодні). Тому моє запитання полягає в тому, яким є точний сенс тиску у виразі (1) і чому ми не маємо: $ $ \ sigma_ (ii) = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

У звичайних рамках механіки безперервної дії, передбачається, що існують два типи сил: сили тіла та поверхневі сили. Можна показати, що останнє можна представити тензором $ \ textbf (T) $, тензором напруженості Коші. Цей тензор дає місцеву напругу на поверхні за допомогою: $ $ \ vec F = \ textbf (T) d \ vec A $ $. Тоді ми можемо розкласти тензор напруження Коші на внесок ізотропного тиску та вкладу напруги (який нам потрібний конститутивний рівняння для): $ $ \ textbf (T) = \ tau -p \ textbf (1) $$ Отже, ваше рівняння (3) правильне. Ваше рівняння (2) дає вам внесок у силу на поверхні, але не на загальну силу.


Deep 10/15/2016.

У механіці рідини тензор напружень $ \ sigma_ (ij) $ - первинна величина. Тиск визначається за допомогою рівняння (1), згаданого у вашому питанні. Зрозуміло, що $ -p \ equiv \ frac (1) (3) \ sigma_ (ii) $ ($ \ sigma '_ (ij) $ є безнадійним за визначенням). Іншими словами, тиск визначається як середнє значення нормальних напружень на трьох ортогональних площинах, що проходять через точку, де розраховується тензор напруги. Даний тиск визначається як механічний тиск. При інтерпретації цього способу рівняння (2), згадане у вашому записі, взагалі стає недійсним. Рівняння (3), згадане у Вашому питанні, є правильною формулою для розрахунку чистої сили на елементі рідини в напрямку $ i $.

Власне кажучи, рівняння (2), згадане у вашому записі, застосовне тільки до статичної рідини, тому що тоді $ \ sigma '_ (ij) = 0 $, а значить $ \ sigma_ (ij) = - p \ delta_ (ij) $, що означає, що нормальний стрес однаковий у всіх напрямках і, таким чином, рівняння (2) стає однозначним. Однак люди прирівнюють це середнє значення до термодинамічного тиску при застосуванні співвідношень від рівноважної термодинаміки до потоків. Якщо це наближення зроблено, то в рамках цього наближення рівняння (2) може бути застосоване до потоків. Наприклад, якщо повітряна куля нагрівається, то потік усередині кулі буде складним. Однак, якщо температура всередині балона однакова, а якщо застосовується ідеальне рівняння газу, то можна розрахувати (термодинамічний) тиск у внутрішній стінці балона і робити вигляд, що це теж тиск, який з'являється в рівнянні Нав'є-Стокса (тобто тиск визначається рівнянням (1)).

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags