Доведення тригонометричної задачі з заданих тригонометричних рівнянь [дублікат]

William 06/17/2018. 3 answers, 137 views
trigonometry

Якщо $ p $ і $ q $ - рішення $$ a \ cos x + b \ sin x = c $ $

Тоді як довести, що $ $ \ cos (p + q) = \ dfrac {a ^ 2-b ^ 2} (a ^ 2 + b ^ 2) $ $

Я спробував всі настройки, які я міг би думати, подібно до поділу на $ \ cos x $ і видобутку $ a $ і $ b $ з двох рівнянь. Також спробував додати / вирахувати, і всі основи, які я знаю, безрезультатно.

Будь-яка допомога оцінена, дякую :)

3 Answers


Yves Daoust 06/17/2018.

Ми маємо

$ $ ca \ cos x = b \ sin x $$ і шляхом квадратування та перепису

$$ c ^ 2-2ac \ cos x + a ^ 2 \ cos ^ 2x = b ^ 2 (1- \ cos ^ 2x), $$ $$ (a ^ 2 + b ^ 2) \ cos ^ 2x-2ac \ cos x + c ^ 2-b ^ 2 = 0. $ $

Використовуючи формули "Місце", продукт коренів є

$ $ \ cos p \ cos q = \ frac (c ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2). $ $ Повторюючи таку саму міркування симетрично,

$ $ \ sin p \ sin q = \ frac (c ^ 2-a ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2). $ $

Тепер, вирахувавши,

$ $ \ cos (p + q) = \ frac (a ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2). $ $


William 06/17/2018.

Ти не турбуєшся! Я зрозумів це - (по флюзі?), Я просто хочу, щоб хтось підтвердив це правильно :)

Перетворення на це оригінальне питання в моєму підручнику. Нехай $ p = \ alpha $ і $ q = \ beta $

$ \ alpha $ і $ \ beta $ - рішення $ a \ cos \ theta + b \ sin \ theta = c $

$ $ a \ cos \ alpha + b \ sin \ alpha = c = a \ cos \ beta + b \ sin \ beta $$

$ $ b (\ sin \ alpha-\ sin \ beta) = - a (\ cos \ alpha- \ cos \ beta) $$

$$ 2b \ cos \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) \ sin \ left (\ frac (\ alpha) \ beta) (2) \ right) = 2a \ sin \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) \ sin \ left (\ frac (\ alpha-beta) {2} \ right) $$

(\ frac (\ alpha) \ beta) (2) $ $ \ frac {b} (a) = \ frac {\ sin \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ right) \ right)} {\ cos \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) \ sin \ left (\ frac (\ alpha-beta) {2} \ right)) = \ tan \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) $ $

$$ \ tan ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) = \ frac (b ^ 2) (a ^ 2) $ $

$$ \ cos (\ alpha + \ beta) = \ frac (\ cos ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) - \ sin ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) } {2} \ right)} {\ cos ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) + \ sin ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ праворуч)} $ $

Розподіляючи чисельник і знаменник на $ \ cos ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right) $, отримуємо,

$$ \ cos (\ alpha + \ beta) = \ frac (1- \ tan ^ 2 \ left (\ frac (\ alpha + \ beta) {2} \ right)} {1+ \ tan ^ 2 \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ right)) = \ frac {1- \ frac (b ^ 2) {a ^ 2}} {1+ \ frac (b ^ 2) {a ^ 2}} $ $

$ $ \ Rightarrow \ qquad \ cos (\ alpha + \ beta) = \ frac (a ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2) $ $

Спасибі всім за їх зусилля :-)


G Cab 06/17/2018.

Враховуючи $$ a \ cos x + b \ sin x = c $ $, поставте $ $ A = \ sqrt (a ^ (\, 2) + b ^ (\, 2}} \ quad \ phi = \ arctan \ left ( {{b \ over a}} \ right) $$, щоб отримати $ $ \ eqalign {& c = a \ cos x + b \ sin x = A \ cos \ phi \ cos x + A \ sin \ phi \ sin x = \ cr & = A \ cos \ left ((x - \ phi) \ right) = A \ cos \ left ((p - \ phi) \ right) = A \ cos \ left ((q - \ phi) \ праворуч) \ cr} $ $, з якого ви отримаєте $$ A \ cos \ left ((p - \ phi) \ right) = A \ cos \ left ((q - \ phi) \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad p - \ phi = - \ left ((q - \ phi) \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad p + q = 2 \ phi $$ (крім кратних значень $ 2 \ pi $).

Я сподіваюся, що решту треба робити самостійно.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags